【離散数学】pならばq（p→q)について

 こんにちは工業単科大学に通う大学生のやまさんです。

今回は論理包含すなわち『pならばq』について詳しく解説していきます。

この内容では、イメージで考えるよりも実際の例を用いて解説をする方がわかりやすいと思うので、内容は『pならばq』についての内容のみの記事となりますがかなり掘り下げて解説をしていきます。

理解ができていない人や理解が不十分な人への助けになればと思っています。

それでは『pならばq』について考えていきましょう！

pならばqの真理値表

まず、『pならばq』の真理値表についてみていきましょう。

下記の表が『pならばq』の真理値表になります。

真理値表を見ただけではよくわからないという人も多いでしょう。

これから、『pならばq』について下記の2つのことについて解説していきます。

1、pとqそれぞれの真偽と『p→q』の真偽

2、pが偽の時qは必ず真になる理由

それでは、考えていきましょう

pとqそれぞれの真偽と『p→q』の真偽

pとqについて、それぞれの真偽の時の『p→q』の真偽について考えていきます。

この部分がわからないという人は『p→q』のみに着目し過ぎていると思います。

ここでは、pとqそれぞれについて具体的に考えて解説をしていきます。

p=真、q=真の時の『p→q』の真偽

明日の天気予報を見る前、私は『明日雨が降るなら明日は家で過ごす』と自分自身に約束したとします。

この時この命題をpを『明日雨が降る』qを『明日家で過ごす』とし置き換えると『p→q』は『明日雨が降るならば明日家で過ごす』という命題となります。

p＝真、q＝真の時、『雨が降るから家で過ごす』という意味になります。

この時、『p→q』は正しいです。

天気予報を見て明日雨だとわかったので、明日は家で過ごすというのは当然です。

p=偽、q=偽の時の『p→q』の真偽

pが偽、qも偽の時の『p→q』について文章で表すと

『雨が降らないならば、明日は家で過ごさない』

という文章になります。

この文章は正しいです。

なぜならば、『雨が降らない』ことがわかったので『明日家で過ごす』必要はないからです。

p=偽、q=真の時の『p→q』の真偽

pが偽、qが真の時の『p→q』について文章で表すと

『雨が降らないならば、明日は家で過ごす』

という文章になります。

この文章は正しいです。

明日雨が降るなら明日家で過ごすと決めただけで、家で過ごしていけないと決めたわけではありません。

p=真、q=偽の時の『p→q』の真偽

pが真、qが偽の時の『p→q』について文章で表すと

『雨が降るなら、明日は家で過ごさない』

という意味になります。

この文章は正しくありません。

明日雨が降ったら家で過ごすと自分自身に約束したわけですから、家で過ごさないということは自分との約束を破ったことになります。

『p→q』を考える上で

『p→q』を考える上で、pやqを具体的な事象に置き換えpやqをそれぞれ個別に割り当てて考えることで簡単にかんがえることができます。

『p→q』について考えるときはpやqなど個々の命題変数について具体的に考えてみると答えが見えてくるでしょう。

pが偽の時『p→q』が必ず真になる理由

『p→q』が真になる理由については上の内容を考えればわかることですが、もう一つ考える方法があります。

『p→q』における定理を用いて考える方法です。

『p→q』は以下のようなことが成り立ちます。

『p→q』は『pの否定またはq』と同値であることが定理として示されています。

このしきを真理値表で表示すると以下のようになります。

真理値表を見れば一目瞭然ですが、『pが偽』の時はpの否定は必ず真になるので、qと論理和すなわち（¬pVq）を取ると必ず真になるのです。