【離散数学】命題論理

 

こんにちは、現在大学生をやっているやまさんです。

今回は工業系大学では必ず履修する数学分野の一つである【離散数学】について解説していきます。

今回解説するのは離散数学の１番の基礎である、命題論理について解説していきます。

離散数学とは

まず、離散数学が数学と言ってもどのような分野について学習するかについて知りましょう。

離散数学とは簡単に言えば、飛び飛びの値を対象とした数学と言えます。

高校数学では、1や2の間には「1.2」や「√3」などの値があります。

しかし、離散数学の分野では『自然数』『整数』のみを扱います。

ここで一番注意するべきことは離散数学の分野における『自然数』の定義には『0』がふくまれるということです。

0が含まれるという理由については後日時間があれば投稿をします。とりあえず、離散数学の分野では0も『自然数』に含まれるということを覚えておきましょう。

命題とは

まず、『命題とは？』と思う人も多いでしょう。ここでは、まず、命題とは何か解説していきます。

命題とは一言で言うと『正しい・正しくないの判断がだれでもできる文章』のことです。

上の文章で一番大事なことは『だれでも』の部分です。

最初に、『昨日雪が降った』と言う文章について考えていきます。

雪が降ったという文章は、

降っていれば「正しい」

降っていれば「正しくない」

がどこのどんな人でも答えることができます。

次に、『佐藤くんは天才である』という文章について考えます。

例えば佐藤くんがテストで70点を取ったとします。ある人『Aくん』はいつも40点台しか取れないため『佐藤くんは天才である』すなわち上の文章は『正しい』と考えます。また、ある人『Bくん』はいつも95点以上とるため、Bくんに取って『佐藤くんは天才ではない』と思います。この時Bくんに取って上の文章は『正しくない』と考えたことになります。

このように考えるとこの文章では佐藤くんが天才であることの判断は人によって違うことがわかります。

誰が答えても答えが一致しない文章は命題ではないことになります。

命題がどのようなものか分かりましたでしょうか？

命題論理と命題変数

命題論理とは、言葉的には難しく聞こえますが『命題について数学的に考える』ということを表しているだけです。

命題変数

命題変数とは、上記の『命題について数学的に考える』ための方法の一つで、「命題を表す記号」です。

「猫は動物である」という命題にpという名前を与えます。

この時「p」が命題変数となります。

この「p」は変数という名前がついています。これは「正しい・正しくない」のどちらかを「Tまたは1」（正しい）か「Fまたは0」（正しくない）の値どちらかをとるということです。

私の通っている大学では、真偽に『1・0』を用いていますが『T・F』でも同じことです。

論理演算子

よく使われる論理演算子は５つあります。今から説明する記号は論理式を理解する上で重要なものになります。難しいものではありませんが、どの記号がどのようなことを意味するのかは必ず覚えましょう。

命題論理式

命題論理式とは上記の論理演算子を用いて作られる数式のことです。

pVqや¬p、p→q

などのことであり、これらを組み合わせた複雑なものもあります。